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Im Modus Hausaufgaben erhältst du am Ende einen Lösungssatz.
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Aufträge

  • Teil 1: Idee, wie Gleichungen gelöst werden

    Erste Gleichungen lösen

    Beispiel für das Lösen einer Gleichung:

     x + 8  =  10  Sprich es so aus: "x plus 8 gleich 10"
       -8       -8
         x  =  2   Sprich es so aus: "x gleich 2"
    Also gilt für die Gleichung x+8 = 10, dass die Unbekannte x den Wert 2 haben muss.

    Beim Gleichungen lösen gibt es folgendes Ziel:
    Ist x auf einer Seite allein, das ist fein.
    Auf der anderen Seite der Gleichung steht dann die gesuchte Zahl. An jeder Stelle der Gleichungen kann man sich nun statt x diese gesuchte Zahl denken.

    Beispiel für das Lösen einer Gleichung mit x:

     x + 25  =  30  Sprich es so aus: "x plus 25 gleich 30"
       -25        -25
          x  =  5   Sprich es so aus: "x gleich 5"

    Statt:
     x + 25  =  30  
    kann man sich nun auch denken:
     5 + 25  =  30  
    Das ist gleichzeitig auch die 'Probe', die linke und rechte Seite der Gleichung ergeben hier den gleichen Wert, es ist jeweils 30.


    Diese Waage ist im Gleichgewicht!
    Links ist
    x+2

    Das unbekannte Gewicht x kennen wir (noch) nicht.
    Rechts ist 5.

    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    =
    -2   -2
    x =

    Antwort: Das Gewicht von x beträgt also .


    Was ist die Idee beim Lösen von Gleichungen?

    Wir formen eine Gleichung Schritt für Schritt um und am Ende steht x allein auf einer Seite. Dann steht auf der anderen Seite die gesuchte Zahl. Jeden neuen Schritt schreiben wir in einer neuen Zeile und Änderungen erfolgen nach bestimmten Regeln. Übersetzt auf die Balkenwaage ⚖:
    Eine Änderung ist erlaubt, wenn die Waage im Gleichgewicht bleibt.

    Auf der Balkenwaage würden man auf beiden Seiten 2 kg entfernen, dann ist x allein auf einer Seite.

    Löse diese Gleichungen mit der Unbekannten x

    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 8 = 12
    -8   -8
    x   =  
    Was muss der Wert von x sein? Überlege 🤔​💭 kurz, du kommst bestimmt dahinter. 👆

    Bestimme den Wert von x
    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 12 = 20
    -12   -12
    x   =  

    Bestimme den Wert von x
    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 50   =   70
    -50   -50
    x   =  

    Bestimme den Wert von x
    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 5 = 12 + 8
    ↓  rechte Seite vereinfachen
    x + 5 =
    -5   -5
    x   =  

    Bestimme den Wert von x
    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 9 = 20·4
    ↓  rechte Seite vereinfachen
    x + 9 =
    -9   -9
    x   =  

    Bestimme den Wert von x
    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    x + 4 = 35 : 5
    ↓  rechte Seite vereinfachen
    x + 4 =
    -4   -4
    x   =  

    Gleichungen nach x auflösen:
    Wichtig ist dabei der weltweite 🗺️ Standard

    Was ist das Ziel beim Lösen einer Gleichung?
    Antwort: x allein ist fein.
    Am Ende der Umformungen steht zum Beispiel: x = 22

    Bei dem weltweiten Standard 🗺️ lösen wir Gleichungen mit der Unbekannten x:
    1. Schritt für Schritt.
      Dabei werden die Gleichheitszeichen = der Gleichung stets untereinander geschrieben.
    2. Änderungen, die beide Seiten der Gleichung betreffen werden mit einem senkrechten Strich | angekündigt. Wir nennen diesen senkrechten Strich gerne 'Kommandostrich' und hinter dem | folgt eine Aktion, die dann unbedingt beidseitig durchgeführt wird.
      Diese Art der beidseitigen Umformungen ändern die Lösung für x nicht.
    3. Das Ziel aller Umformungen der Gleichung: x allein ist fein. Wir sind fertig, wenn da nur noch steht: x = Zahlwert

    Beispiel:
     x+8 = 12 |-8 Wir subtrahieren -8 auf beiden Seiten, damit x alleine steht
       x = 12-8
       x = 4

    Noch ein Hinweis: Jede Zeile einer Gleichung schreiben wir so, dass das Gleichheitszeichen = stets gleich eingerückt steht.

    Diese Waage ist im Gleichgewicht. Das was links und rechts auf ihr liegt kann als Gleichung notiert werden.
    Notiere die linke Seite hier 👇 ⚖️ Hier 👇 die rechte Seite notieren
     =  |
    Welche Strategie darf man nun anwenden, um die Gleichung zu lösen? 1. Lösungsstrategie: Die Gleichung bleibt im Gleichgewicht, wenn man die gleiche Menge auf jeder Seite wegnimmt. 👆 Diese beidseitige 'Aktion' geben wir ganz rechts mit einem senkrechten Strich an, hier ist es: |-3
    x  = 

    Das was auf der Waage liegt kann als Gleichung geschrieben werden.
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    = |
    x =

    Löse die Gleichung x+40=65 nach dem weltweiten Standard

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x+40 = 65 |
    x =

    Löse die Gleichung x+2,5=6 nach dem weltweiten Standard

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x+2,5 = 6 |
    x =

    Gleichungen lösen: 🎈🎈🎈 Heliumballons ziehen nach oben!

    Welche Strategie darf man hier anwenden, um die Gleichung zu lösen? 2. Lösungsstrategie: Die Gleichung bleibt im Gleichgewicht, wenn man die gleiche Menge auf jeder Seite hinstellt. 👆 Diese beidseitige 'Aktion' geben wir ganz rechts mit einem senkrechten Strich an, hier ist es: |+3
    = |
    x-3+ = 2+
    x =

    Und jetzt ziehen 🎈🎈🎈🎈🎈 Heliumballons eine Seite nach oben

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    = |
    x =

    Eine weitere Übung

    Löse die Gleichung nach der Unbekannten x auf

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x-33 = 44 |
    x =

    Weitere Übungen

    Löse die Gleichung nach der Unbekannten x auf

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x+4+5 = 30-15 | Vereinfache
    = |
    x =

    Löse die Gleichung nach der Unbekannten x auf

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x+5-7 = 4·5 | Vereinfache
    = |
    x =

    Löse die Gleichung nach der Unbekannten x auf

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    8+x+12-30 = 7·4 + 2 | Vereinfache
    = |
    x =

    Löse die Gleichung nach der Unbekannten x auf

    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Aktion
    x-30,5 = -10,5 |
    x =

    Mehrere x auf einer Seite, zum Beispiel x+x+x

    Wie lautet die Gleichung
    linke Seite ⚖️ rechte Seite |Änderungen links und rechts
    x+x+x+x+x =
    Wir fassen da 👇 die x+x+x+x+x zu 5x zusammen.
    = |
    Welche Strategie darf man nun anwenden, um die Gleichung zu lösen? 3. Lösungsstrategie: Die Gleichung bleibt im Gleichgewicht, wenn man beide Seiten durch die gleiche Zahl teilt. 👆 Diese beidseitige 'Aktion' geben wir ganz rechts mit einem senkrechten Strich an, hier ist es: |:5
    x =

    Weitere Übungen

    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    4x = 12
    :4   :4
    x   =  

    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    6x = 48
    :6   :6
    x   =  

    linke Seite 👇 👇 rechte Seite
    15x   =   30
    :15   :15
    x   =  

    Mehrere x auf einer Seite, dazu eine Zahl

    Die Waage ist im Gleichgewicht!
    Links ist x+x+x + 4 und rechts ist 10.
    Das unbekannte Gewicht x kommt hier nun dreimal vor, also: x+x+x und dazu kommt noch 4.
    linke Seite 👇

    =
    👇 rechte Seite
    |👇 Aktionen
    |
    = |
    Wir wissen nun: 3x sind gleich 6 👆. Wir wollen aber wissen, wie viel nur ein x ist. Daher dividieren wir als Aktion durch die Zahl 3. |👆 Hier nun durch drei dividieren
    x =

    Mehrere x auf einer Seite

    Die Waage ist im Gleichgewicht!
    links 👇

    =
    👇 rechts
    |👇 Aktionen
    |
    = |
    x =

    Mehrere x vermindert um eine Zahl

    Die Waage ist im Gleichgewicht!
    links 👇
    = 👇rechts | Aktionen
    = |
    = |
    x =
  • Teil 2: Gleichungen lösen

    Gleichungen lösen, x ist nur auf einer Seite


    Vereinfache zuerst beide Seiten
    (Rechentipp: x+x+x+x = 4x)
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    x+x+x+x = 20
    = |:
    x =

    Gleichung lösen

    Bei jedem Schritt bleibt die Gleichung im Gleichgewicht ⚖️.

    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    x+2x+30 = 51 | zuerst vereinfachen
    = 51 |
    = |:
    x =

    Gleichungen lösen

    Bei jedem Schritt bleibt die Gleichung im Gleichgewicht ⚖️.

    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    2x+3x-10-10 = 25 | zuerst vereinfachen
    = 25 | +
    = |:
    x =

    Gleichungen lösen

    Bei jedem Schritt bleibt die Gleichung im Gleichgewicht ⚖️.

    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    9x-3x+10-40 = 12 | zuerst vereinfachen
    = 12 | +
    = | :
    x =

    Gleichungen lösen

    Bei jedem Schritt bleibt die Gleichung im Gleichgewicht ⚖️.

    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    4x-3x+7x-22 = 9·2+24 | zunächst vereinfachen
    = | +
    = | :
    x =

    Gleichungen lösen

    Bei jedem Schritt bleibt die Gleichung im Gleichgewicht ⚖️.

    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    6x-4x+7x+8 = 6·4+20 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    14x-6x-7·2 = 6·5-12 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    44x+7-33x = 10-25 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    9+33x-15-30x = 20-10·5 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    10x-12x+15 = 5·5-4 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    23x+8-30x-20 = 7·6-3·4 | zunächst vereinfachen
    = |
    = |
    x =

    Gleichungen lösen


    Mit jeder neuen Zeile nähern wir uns diesem Ziel: x allein ist fein
    linke Seite ⚖️ rechte Seite | Änderungen links und rechts
    12x-10x+20-11x+10 = 15-30 | zunächst vereinfachen
    = |
    =️ |
    x =

    Du hast nun diesen Teil bearbeitet. Hervorragend!
    Atme mal durch.
    Diese Übungen mit dem Zinseszinseffekt waren erst der Anfang. Es ist wichtig, dass du das auch auf Papier bearbeitest, um ein eigenes Erlebnis davon zu bekommen.

  • Teil 3: Gleichungen der Form 8x + 15 = 4x + 8

    Gleichungen lösen, x ist auf beiden Seiten

    Mehrere x sind auf der linken und auf der rechten Seite


    Tipp: Entferne auf beiden Seiten jeweils 2x, dann stehen die x nur noch auf einer Seite.

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = |
    = |
    x =

    Löse eine weitere Gleichung

    Tipp: Entferne auf beiden Seiten jeweils 6x, dann steht die Unbekannte x nur noch auf einer Seite.

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    10x = 6x + 32 |
    = |
    x =

    Die Unbekannte x ist auf beiden Seiten der Gleichung

    Löse diese Gleichung nach x auf
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    20x = 14x + 24 |
    = |
    x =

    Löse diese Gleichung nach x auf
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    14,5x = 2,5x + 24 |
    = |
    x =

    Löse die Gleichung nach x auf
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    33x = 13x + 10 |
    = |
    x =
    Die Unbekannte x ist auf der linken und auf der rechten Seite


    Tipp: Entferne zuerst auf beiden Seiten jeweils 2x, dann stehen die x nur noch auf einer Seite.

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | -2x
    = |
    = |
    x =

    Löse diese Gleichung nach x auf

    Mehrere x sind auf der linken und auf der rechten Seite

    Tipp: Entferne zuerst auf beiden Seiten 18x, dann steht die Unbekannte x nur noch auf einer Seite.

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    25x = 18x - 21 |
    = |
    x =
  • Teil 4: Wie alt ist eigentlich ...

    Gleichungen mit x lösen, um das Alter einer Person zu bestimmen

    👨‍👧 Vater und Tochter: Der Vater ist 4-mal so alt wie die Tochter. Zusammen sind sie 45 Jahre alt.

    Tipp: Wir sagen, das Alter der Tochter sei x.

    👧 Alter der Tochter:
    👨Alter des Vaters:
    Zusammen sind sie so viele Jahre alt:

    Nun werden obige Angaben in eine Gleichung übersetzt:
    Alter der Tochter + Alter des Vaters = 45

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Vereinfache
    | die linke Seite
    = |
    x =
    Damit ist die Tochter Jahre alt (👧=x).
    Damit ist der Vater dann Jahre alt (👨=4x).

    Gleichungen mit x lösen, um das Alter einer Person zu bestimmen

    👩‍👧‍👦Mutter, Tochter und Sohn: Die Mutter ist ist 7-mal so alt wie ihr Sohn Max. Ihre Tochter Nele ist doppelt so alt wie Max. Zusammen sind sie 60 Jahre alt.

    Tipp: Wir sagen, das Alter von Max sei x.

    ‍👦 Alter von Max:
    👧 Alter von Nele:
    👩 Alter der Mutter:
    Zusammen sind sie so viele Jahre alt:

    Nun werden obige Angaben in eine Gleichung übersetzt:
    Alter von Max 👦 + Alter von Nele 👧 + Alter der Mutter 👩 = 60

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Vereinfache
    | die linke Seite
    = |
    x =
    Damit ist Max Jahre alt (👦=x).
    Damit ist Nele Jahre alt (👧=2x).
    Damit ist die Mutter dann Jahre alt (👩=7x).

    Wie alt sind die Freundinnen?

    Ines, Lara und Berivan sind zusammen 38 Jahre alt.
    Dabei ist Ines doppelt so alt wie Lara.
    Berivan ist 2 Jahre älter als Lara.

    Tipp: Wir sagen, das Alter von Lara sei x.

    ​​👩​ Alter von Lara:
    👧 Alter von Ines:
    ​🙋​​ Alter von Berivan:
    Zusammen sind sie so viele Jahre alt:

    Nun werden obige Angaben in eine Gleichung übersetzt:
    ​​👩​ Alter von Lara + Alter von Ines 👧 + Alter von Berivan ​🙋​​ = 38

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Vereinfache
    | die linke Seite
    = |
    = |
    x =
    Damit ist Lara Jahre alt (‍​​👩=x).
    Damit ist Ines Jahre alt (👧=2x).
    Damit ist Berivan Jahre alt (​🙋​​=x+2).

    Einen Lottogewinn teilen

    3 Brüder teilen einen Lottogewinn über 6500 €.
    Der Jüngste erhält 500 € weniger als der Mittlere.
    Der Älteste erhält 1000 € mehr als der Mittlere. Aber wie viel Geld kriegt nun jeder von ihnen?

    Tipp: Wir sagen, der Mittlere erhalte x.

    ‍​Der Mittlere erhalte:
    Der Jüngste erhält dann:
    Der Älteste erhält dann:
    Zusammen erhalten sie:

    Nun werden obige Angaben in eine Gleichung übersetzt:
    ​​👩​ Alter von Lara + Alter von Ines 👧 + Alter von Berivan ​🙋​​ = 38

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Vereinfache
    | die linke Seite
    = |
    = |
    x =
    Damit erhält der Jüngste . (Der Jüngster erhält x-500)
    Damit erhält der Mittlere . (Der Mittlere erhält x)
    Damit erhält der Älteste . (Der Älteste erhält x+1000)

  • Teil 5: Gleichungen lösen mit Figuren

    Gleichungen mit Figuren x lösen

    Der Umfang dieses Rechtecks beträgt 36 cm. Wie lang sind die Seiten?

    Tipp: Wir sagen, die Länge sei3x.


    Der Umfang des Rechtecks beträgt 36 cm. Lange Seite des Rechtes (Länge) kurze Seite des Rechtecks (Breite) Umfang des Rechtecks:

    Nun werden obige Angaben in eine Gleichung übersetzt:
    obere Seite + untere Seite + linke Seite + rechte Seite= 36

    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Vereinfache
    | die linke Seite
    = |
    x =
    Damit ist die Länge des Rechtecks: cm.
    Damit ist die Breite des Rechtecks cm.

  • Teil 6: 📦 Auspacken von Termen mit Klammern 📦

    Ein Klammerausdruck wie (2x+5) ist wie ein 📦 Paket:
    ( ) Klammern und 📦 Pakete halten etwas zusammen

    'Auspacken' mehrerer Pakete mit jeweils gleichem Inhalt

    Beispiel:
    📦📦📦 mit jeweils (x+5) und wir schreiben: 3·(x+5) Wir packen nun die Pakete aus und sortieren:

  • Teil 7: Gleichungen mit Klammern

    Klammern ( ) halten etwas zusammen, so wie ein Paket 📦.

    Auch Gleichungen können einen Ausdruck mit Klammern enthalten. Um diese Gleichungen zu lösen müssen die Klammern aufgelöst werden

    Hinweis: Die Klammern haben kein Gewicht.


    Auf der linken Seite ist IN KLAMMERN dreimal der gleiche Ausdruck.
    Was steht in jeder Klammer?
    Wie oft kommt die Klammer vor?
    Dreimal kommt das Paket (2x+10) vor und wir schreiben folgenden Ausdruck kurz mit nur einer Klammer:
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    = | Die Klammer
    | auflösen
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (2x+10) hat damit einen Wert von

    Noch ein Beispiel 7(3x+5) = 100-2
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    7 (3x + 5) = 100-2 | Klammer
    | auflösen
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (3x+5) hat damit einen Wert von

    Noch ein Beispiel 10(0,3x+0,5) = 75-10
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    10(0,3x+0,5) = 75-10 | Die Klammer
    | auflösen
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (0,3x + 0,5) hat damit einen Wert von

    Noch ein Beispiel 5(6x-4) = 40:4
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    5(6x-4) = 40:4 | Die Klammer
    | auflösen
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (6x-4) hat damit einen Wert von

    Noch ein Beispiel 4(2x-12) = 8·3
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    4(2x-12) = 8·3 | Die Klammer
    | auflösen
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (2x-12) hat damit einen Wert von

    Noch ein Beispiel 5·11+5(3x-7) = 20·4
    links 👇
    = 👇 rechts | Aktionen
    5·11+5(3x-7) = 20·4 | Die Klammer
    | auflösen
    = | Vereinfache
    | links
    = |
    = |
    x =
    Jede Klammer (3x-7) hat damit einen Wert von

Impressum             Idee und Umsetzung: J.Kreutzer