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Im Detektivmodus 🕵 kannst du Aufgaben ergründen 🔍 und es gibt auch Lösungstipps 💡.
Im Modus Hausaufgaben erhältst du am Ende einen Lösungssatz.
Im Prüfungsmodus ⏱ gibt es eine Zeitbegrenzung und du erhältst deine Punktzahl erst am Ende.

Aufträge

  • Teil 1: Gleiche Inhalte bei Klammern sind wie mehrere 🛒 mit gleichem Inhalt​

    Mehrere 🛒 mit jeweils gleichem Inhalt kannst du in der Mathematik sehr kurz notieren.

    Ihr seid zu viert und habt in euren 🛒 jeweils das gleiche:
    Im 🛒sind:
    2,50 € + 🥐    		 Im 🛒sind:
    2,50 € + 🥐    		 Im 🛒sind:
    2,50 € + 🥐    		 Im 🛒sind:
    2,50 € + 🥐

    In einen 'Einkaufswagen' 🛒 kannst du mehrere Sachen hineinlegen. In der Mathematik verwenden wir dafür die Klammern ( )

    Wie in jedem Einkaufswagen 🛒 kannst du innerhalb von Klammern ( ) mehrere Dinge hinein packen. In der Mathematik setzen wir dafür die Klammern:
    🛒(🍎🍎🍎+​🍌​🍌)
    Und das geht noch kürzer:
    = 🛒(3🍎 + 2​🍌)
    Wir lassen das Symbol 🛒 in der Mathematik weg:
    = (3​🍎 + 2​🍌)

    Hast du nun vier solcher 🛒 mit jeweils gleichem Inhalt kannst du das mathematisch viel kürzer ausdrücken:
    🛒(🍎🍎🍎 + ​🍌​🍌) +🛒(🍎🍎🍎 + ​🍌​🍌)
    +🛒(🍎🍎🍎 + ​🍌​🍌) +🛒(🍎🍎🍎 + ​🍌​🍌)

    Und das geht noch kürzer, wir lassen 🛒 weg:
    = 4 · ( 3 ​🍎 + 2 ​​🍌 )

    Der Rechenausdruck 4 ·  ( 3 🍎 + 2 ​🍌 ) ist zwar kurz, aber beinhaltet auch Klammern. Wir wollen nun mehrere 🛒 mit jeweils gleichem Inhalt auspacken und die gleichartigen Sachen zusammenbringen:
    4 ·  ( 3 🍎 + 2 ​🍌 )
    = 4 ·  3 🍎 + 4 · 2 ​🍌

    Vor jeder Klammer steht ein Malzeichen und eine Zahl. Löse nun diese Klammern auf und du hast einen besseren Blick auf die Gesamtmenge

    Vom Produkt zur Summe

    Was ist nochmal ein Produkt?

    Wann genau heißt ein Rechenausdruck Produkt?

    Das ist ein Produkt: 12 · 32
    Das ist auch ein Produkt: 12 · (10 + 10 + 10 + 2),
    denn zuerst wird die Klammer berechnet und zuletzt wird multipliziert.
    Weitere Beispiele von Produkten und deren Berechnung:



    Wenn du jetzt nur die Klammern der Produkte ausrechnest, so bleibt es eine Malaufgabe und damit ein Produkt:

    Ein Rechenausdruck ist ein Produkt, wenn eine Multiplikation der letzte Schritt beim Ausrechnen ist.

    Was ist nochmal eine Summe?

    Wann genau heißt ein Rechenausdruck eine Summe?

    Das ist eine Summe: 10 + 10 + 10 + 2
    Das ist auch eine Summe: 12 · 10 +12 · 10 + 12 · 10 + 12 · 2!
    Warum? Hier gilt Punkt vor Strich, somit werden zuerst die Malaufgaben berechnet und erst zuletzt wird addiert.
    Weitere Beispiele für Summen:

    Ein Rechenausdruck ist eine Summe, wenn eine Addition der letzte Schritt beim Ausrechnen ist.

    Blumenbeete anlegen

    Ein rechteckiges Blumenbeet anlegen

    Wenn ein Produkt eine Klammer enthält, so kannst du diese in eine Summe umformen

    Vom ()Produkt zur Summe

    ()Produkt steht für Klammerprodukt, und gemeint ist, dass das Produkt einen Faktor mit einer Klammer enthält.
    Beispiel: 4·(5 + 0,3).
    Hier trainieren wir nun, wie dieses ()Produkt korrekte in eine Summe (dann auch ohne Klammern) umgeformt wird.

    Streng genommen muss noch gesagt werden, dass innerhalb dieser Klammer eine Summe stehen muss, also innerhalb der Klammer steht das + Rechenzeichen.

    Stufenzahlen

    Erinnerung: Stufenzahlen, also Zahlen der Form 10, oder 100, oder 1 000 lassen sich sehr leicht multiplizieren.

    Wir 'freuen' 😁 uns, wenn wir beim Multiplizieren auf diese Stufenzahlen treffen:
    5 · 2 = 10 und auch 2 · 5 = 10

    Anwendungen:

    Aufgaben zum Ausmultiplizieren

    Klammern auflösen, wenn ein Faktor davor steht:

    Steht vor einer Klammer ein Malzeichen und davor eine Zahl, also ein Faktor, z.B. 4 mal (...), dann kannst die komplette Klammer auflösen. Dazu multiplizierst du alle Inhalte in der Klammer mit dieser Zahl vor der Klammer. Die Rechenzeichen innerhalb der Klammer bleiben.

    Beispiel:

    Beispiel 2:

  • Teil 2: Punkt vor Strich gilt weltweit 🗺

    Die Rechenregel 'Punkt vor Strich' ist eine weltweite 🗺 Vereinbarung.

    Zunächst zwei wichtige Rechenregeln:

    1. Liegen lediglich die Rechenzeichen + und - vor so rechnet man von links nach rechts.

    2. Klammern ( ) haben bei Rechenaufgaben den höchsten Vorrang.

    Nun zu Punkt vor Strich

    Diese Regel ist für dich ganz wichtig, du musst diese weltweite Vereinbarung stets einhalten. Es ist wirklich eine sinnvolle Regel.
    (Übrigens, streng genommen müsste es diese Vereinbarung nicht geben.)

    Ein Beispiel, warum ist Punkt vor Strich so sinnvoll ist:

    Du gehst frühstücken, das ist deine Bestellung:
    ☕
    4,20 €    		 🥐
    2 €    		 🥐
    2 €    		 🥐
    2 €    		 🥐
    2 €

    Übersetzt in eine Rechenaufgabe:

    Ein zweites Beispiel:

    Du kaufst ein Brot zu 3 € und außerdem 4 Pack Butter zu je 2 €, und du löst noch 10 Pfandflaschen zu je 0,15 € ein.
    Übersetzt in eine Rechenaufgabe: 3 € + ( 4 · 2 € ) - (10 · 0,15 €) und die Klammern sorgen dafür, dass die ( 4 · 2 € ) und die ( 10 · 0,15€ ) zuerst berechnet werden.
    Durch die Rechenregel Punkt vor Strich brauchst du aber keine Klammern:

    Punkt vor Strich besagt folgendes:
    In Rechenaufgaben werden Multiplikationen ✖ vor dem Addieren ➕ (bzw. Subtrahieren) ausgeführt!
    Und in Rechenaufgaben wird auch die Division : vor dem Addieren ➕ bzw. Subtrahieren ausgeführt!

    Beispiele:

    Punkt vor Strich ist eine Vereinbarung in der Mathematik, sie ist aber praktisch ein Rechengesetz.

  • Teil 3, Der clevere Rechenstart⭐: Wann kann man an beliebiger Stelle mit dem Rechnen beginnen ?

    Kann man beim Addieren von 3 oder mehr Zahlen auch weiter hinten beginnen?

    Oder muss streng von links nach rechts addiert werden?

    Versuche hier geschickt zu rechnen, indem du ähnliche Preise zuerst addierst.
    🔬
    99 €    		🍕
    2,50 €    		🍕
    2,50 €    		 🍕
    2,50 €    		🍕
    2,50 €
    Wenn Zahlen addiert werden spricht man von einer Summe. Addiere jetzt geschickt.
    28,21➕3,50➕1,50➕5
    ⬆️ ⬆️ ⬆️ ⬆️
    Die Zahlen, die hier addiert werden, heißen jeweils Summanden.
    44,33➕24 ➕3➕3
    Wir addieren zunächst die Zahlen weiter hintenund zeigen dies durch Klammern an.
    =44,33➕(24➕3 ➕3)
    =44,33 ➕
    =
    Du darfst bei mehr als drei Summanden an jeder Stelle mit der Addition beginnen.
    Bei mehreren Summanden gilt die Vorzieh-Erlaubnis.
    In Fachsprache Mathematik 📘📐 heißt es: In Summen gilt das Assoziativgesetz. Man darf also beliebig Klammern um Summanden setzen und muss nicht von links nach rechts addieren. a + b + c + d + e= a + ( b + c )+ ( d + e )
    (Statt Vorzieh-Erlaubnis heißt es in der Fachsprache Assoziativgesetz)

    Geschickt beim Addieren weiter hinten beginnen

    Schau mal, wie du bestimmte Preise zuerst geschickt addierst.
    💻🍭🍬🍭🍬
    183 €0,85 €0,15 €0,85 €0,15 €
    = 183 €+ (0,85 € + 0,15 €)+ (0,85 € + 0,15 €)
    = 183 €+ (0,85 € + 0,15 €)

    Bei Kommazahlen wird es nochmals interessanter.

    Kann man beim Multiplizieren von 3 oder mehr Zahlen auch weiter hinten beginnen?

    Eine Tagesfahrkarte 🎫 kostet 9,90 €. Du benötigst pro Woche 5 Stück. Bis zum Ende des Jahres sind es noch 20 Wochen.
    Tipp: Versuche hier geschickt zu rechnen, indem du die Reihenfolge nicht einhältst.
    19,90 €·5·20
    =19,90 €·( 5·20 )
       =
    Sind zwei oder mehrere Zahlen zu multiplizieren dann nennt man diese Rechenaufgabe ein Produkt. Die Zahlen selbst heißen Faktoren. Multipliziere geschickt und beginne nicht von vorne.
    43,20 €·2,5·2·2
    ⬆️ ⬆️ ⬆️ ⬆️
    Die Zahlen, die hier multipliziert werden, heißen jeweils Faktoren. Wir beginnen nun mit den letzten drei Faktoren.
    =43,20·(2,5·2·2)
    =43,20·10
    =
    Wir beginnen:

    Geschickt beim Multiplizieren weiter hinten beginnen?

    Die Klammern helfen hier beim Multiplizieren

    Und wie ist das bei den Rechenarten Minus ➖ und Geteilt ➗ ?

    Die Aufgabe 8 - 3 heißt Differenz, weil dort das Rechenzeichen ➖ steht.
    Kann man beim Subtrahieren auch weiter hinten beginnen? Das testen wir jetzt:

    Die Aufgabe 90 : 3 heißt Quotient, weil dort das Rechenzeichen ➗ steht.
    Kann man beim Dividieren auch weiter hinten beginnen? Das test wir jetzt:

    Unser Ergebnis für den cleveren Rechenstart ⭐

    Bei welchen Rechenzeichen darfst du mit dem Rechnen weiter hinten beginnen?

    👍 Beim mehrfachen Addieren + darfst du weiter hinten beginnen ⭐.
    👍 Beim mehrfachen Multipliziern * darfst du weiter hinten beginnen ⭐.
    ⛔ Beim mehrfachen Subtrahieren - darfst du du nicht 🙅 weiter hinten beginnen!
    ⛔ Beim mehrfachen Dividieren : darfst du du nicht 🙅‍♂ weiter hinten beginnen!

  • Teil 4: Wann gilt die Zahlentausch-Erlaubnis 🔄 ?(Kommutativgesetz)

    Darf man bei einer Additionsaufgabe Zahlen vertauschen?

    Oder müssen Zahlen immer von links nach rechts addiert werden?

    Versuche hier geschickt zu rechnen, indem du ähnliche Preise zuerst addierst.
    🔬
    28 €    		🍕
    1,50 €    		 💡
    12 €    		 🍕
    1,50 €
    Wenn Zahlen addiert werden spricht man von einer Summe. Addiere jetzt geschickt.
    28➕97➕12➕3
    ⬆️ ⬆️ ⬆️ ⬆️
    Die Zahlen, die hier addiert werden, heißen jeweils Summanden.
    92➕67 ➕8➕13
    Wir tauschen nun die Reihenfolge geschickt
    =92➕8➕67 ➕13
    =92➕8 ➕
     =
    Du darfst die Summanden immer vertauschen.
    Für Summanden gilt also die Tausch-Erlaubnis!
    In der Fachsprache Mathematik 📘📐:
    In Summen (also bei Aufgaben mit dem Rechenzeichen ➕) gilt Kommutativgesetz.
    📘📐 bedeutet stets: In der Fachsprache der Mathematik.
    Übungen für den Einstieg:

    Geschickt mit Kommazahlen umgehen?

    Schau mal, wie du bestimmte Preise zuerst geschickt addierst.
    🍭
    0,85 €    		💻
    209 €    		 🍬
    0,15 €    		 🍭
    0,85 €    		🍬
    0,15 €
    Fortgeschritten

    Bei Kommazahlen wird es nochmals interessanter.

    Darf man beim Multiplizieren die Faktoren beliebig vertauschen?

    Eine Familie möchte ihre Fahrräder ausrüsten. Für ihre 5 Fahrräder 🚲 werden jeweils Gepäckträger zu je 39,90 € angeschafft. Dann entschließen sie sich, jeweils auch noch einen Fahrradkorb zu kaufen, was den Preis nochmals verdoppelt.
    Tipp: Versuche hier geschickt zu rechnen, indem du die Reihenfolge nicht einhältst.
    5·39,90 €·2
    =5·2·39,90 €
         =
    Sind zwei oder mehrere Zahlen zu multiplizieren dann nennt man diese Rechenaufgabe ein Produkt. Die Zahlen selbst heißen Faktoren. Multipliziere geschickt, indem du die Faktoren tauschst:
    2·2,5·37,10 €·2
    ⬆️ ⬆️ ⬆️ ⬆️
    Die Zahlen, die hier multipliziert werden, heißen jeweils Faktoren. Wir tauschen nun die letzten beiden Faktoren.
    =2·2,5·2·37,10 €
    =
    Dein Training:

    Faktoren geschickt tauschen beim Multiplizieren

    2,5·69 €·2·2
    =2,5·2·2·69 €
    =
    Du darfst in Malaufgaben alle Faktoren beliebig vertauschen.
    Unter Faktoren gilt die Tausch-Erlaubnis

    📘📐: In jedem Produkt gilt das Kommutativgesetz, also die Tausch-Erlaubnis der Faktoren.

    Dein Training:

    Und wie ist es mit dem Zahlentauschen bei den Rechenarten Minus ➖ und Geteilt ➗ ?

    8 - 3 = 5, aber bei 3 - 8 erhältst du ein anderes Ergebnis.
    20 : 5 = 4, aber bei 5 : 20 erhältst du ein anderer Ergebnis.

    Unser Ergebnis für den geschickten Zahlentausch 🔄

    Bei welchen Rechenzeichen darfst du Zahlen vertauschen 🔄?

    👍 Bei + (Addieren) darfst du tauschen 🔄.
    👍 Bei * (Multipliziern) darfst du tauschen 🔄.
    ⛔ Bei - (Subtrahieren) darfst du du nicht 🙅 tauschen!
    ⛔ Bei : (Dividieren) darfst du du nicht 🙅‍♂ tauschen!

    Und nun gutes Gelingen bei all deinen zukünftigen Rechenaufgaben.

    Du bist nun soweit gekommen, ganz hervorragend!
    Merkst du selbst, wie du Fortschritte im Rechnen machst?
    Für deine weitere Entwicklung arbeite nun auf Papier 👨‍🎓📝, damit sich deine Fertigkeiten noch besser im Gehirn 🧠 verankern. Daher sind nun Aufgaben aus dem Mathematik-Buch 📘 (oder Arbeitsheft) angesagt.
    Aber zuerst: Super! Atme mal durch.

Impressum             Idee und Umsetzung: J.Kreutzer